Пример использования библиотеки sympy для поиска экстремума функции


Рассмотрим алгоритм поиска экстремума функции одной переменной при помощи библиотеки sympy. Дана следующая функция от x:

f(x)  = \frac{\sqrt{x^2+a^2} + k \sqrt{b^2+(h-x)^2}}{v_1}

Для нахождения экстремума функции найдем ее производную по x, используя библиотеку sympy, и решив уравнение

\frac{df(x)}{dx} = 0,

найдем значение x, которому соответсвует минимум или максимум функции.

Поключаем библиотеки


# numpy всегда пригодится
import numpy as np
# Для построения графиков
import matplotlib.pyplot as plt
# Научный питон  
from scipy import optimize
# Символьный питон
from sympy import *

Объявляем используемые в функции символьные параметры

a, b, h, k, x, v1 = symbols('a, b, h, k, x, v1')

Объявляем функцию

f  = (sqrt(x**2+a**2) + k*sqrt(b**2+(h-x)**2))/v1

Найдем её производную при помощи функции библиотеки sympy diff. Первый аргумент функции diff – дифференцируемое выражение, второй – переменная, по которой необходимо найти производную:

df = diff(f, x)

В результате переменная df будет содержать следующее выражение

>> df

(k*(-h + x)/sqrt(b**2 + (h - x)**2) + x/sqrt(a**2 + x**2))/v1

В полученном выражении для производной заменим символы (параметры) a, b, h, k, v1 их значениями (a=10, b=10, h=10, k=5, v1=5). Для этого создаем словарь

params = {a:10, b:10, h:10.0, k:5, v1: 5}

который подставим в найденную производную, используюя метод subs

df_par = df.subs(params)

Результатом будет выражение, которое зависит только от x:

>> df_par

x/(5*sqrt(x**2 + 100)) + (x - 10.0)/sqrt((-x + 10.0)**2 + 100)

Создадим на основе символьного выращения f_par лямбда-функцию от x

df_num = lambda xnum: df_par.subs( {x: xnum} ) 

Численным методом найдем значение x, при котором производная обращается в 0. Для этого используем функцию root модуля scipy.optimize, передав этой функции имя лямбда-функции и начальное приближение x_0 = 5:

sol = optimize.root(df_num, 5.0)

Результатом будет следующее значение x:

>> sol.x

array([8.6777724])

2019


© 2018. All rights reserved.