Уравнения относительного орбитального движения
Система координат
Рассматривается движение космического аппарата (КА) относительно орбитальной станции, движущейся по круговой или эллиптической орбите. Положение КА относительно станции определяется в орбитальной подвижной системе координат \(Ox_oy_oz_o\), связанной с центром масс станции. Ось \(Ox_o\) направлена по направлению радиус вектора станции относительно центра Земли (\(\vec r\)), ось \(Oy_o\) лежит в плоскости орбиты станции и направлена в направлении орбитального движения, ось \(Oz_o\) дополняет систему координат \(Ox_oy_oz_o\) до правой.
Нелинейные уравнения для эллиптической орбиты станции
Нелинейные уравнения движения КА относительно станции при движении станции по эллиптической орбите имею следующий вид: \[\left\{ \begin{aligned} & \ddot x - 2 \dot{\vartheta} \dot y - \ddot{\vartheta} y - \dot{\vartheta}^2 x = - \frac{\mu(r+x)}{[(r+x)^2+y^2+z^2]^{3/2}} + \frac{\mu}{r^2} \\ & \ddot y + \dot{\vartheta} \dot x + \ddot{\vartheta} x - \dot{\vartheta}^2 y = - \frac{\mu y}{[(r+x)^2+y^2+z^2]^{3/2}}\\ & \ddot z = - \frac{\mu z}{[(r+x)^2+y^2+z^2]^{3/2}} \end{aligned} \right.\]
где \(x, y, z\) – координаты КА относительно станции (проекции вектора \(\rho\) на оси орбитальной подвижной системы координат станции), \(\mu\) – гравитационный параметр Земли. Угол истинной аномалии станции \(\dot \vartheta\) и расстояние от станции до центра Земли \(r\), определяются дифференциальными уравнениями движения станции по эллиптической орбите: \[\ddot \vartheta = -\frac{2 \dot r \dot \vartheta}{r}, \quad \ddot{r} = r \dot{\vartheta}^2 - \frac{\mu}{r^2}.\]
Функция правых частей на языке MATLAB
function dq = nonlinear_relative_orbital(t,q,p)
r = q(1); % расстояние до притягивающего центра
theta = q(2); % угол истинной аномалии станции
rho = q(3:5); % относительные координаты
dr = q(6); % dr/dt
dtheta = q(7); % угловая скорость орбитального движения
v = q(8:10); % относительная скорость
% Уравнения движения станции
d2r = r*dtheta^2-p.mu/(r^2);
d2theta = -2*dr*dtheta/r;
rm = sqrt((r+rho(1))^2+rho(2)^2+rho(3)^2);
d2x = -p.mu*(r+rho(1))/rm^3 + p.mu/r^2 + 2*dtheta*v(2) + d2theta*rho(2) + dtheta^2*rho(1);
d2y = -p.mu*rho(2)/rm^3 - 2*dtheta*v(1) - d2theta*rho(1) + dtheta^2*rho(2);
d2z = -p.mu*rho(3)/rm^3;
dq = [dr;dtheta;v;d2r;d2theta;d2x;d2y;d2z];
end
Нелинейные уравнения относительного движения для круговой орбиты станции
При движении станции по круговой орбите \(\dot{\vartheta} = n_0 = \text{const}, \, \ddot{\vartheta} = 0, \, r = a_0 = \text{const}\) уравнения упрощаются: \[\left\{ \begin{aligned} & \ddot x - 2 n_0 \dot y - n^2_0 x = - \frac{\mu(a_0+x)}{[(a_0+x)^2+y^2+z^2]^{3/2}} + \frac{\mu}{a_0^2} \\ & \ddot y + n_0 \dot x - n^2_0 y = - \frac{\mu y}{[(a_0+x)^2+y^2+z^2]^{3/2}}\\ & \ddot z = - \frac{\mu z}{[(a_0+x)^2+y^2+z^2]^{3/2}} \end{aligned} \right.\]
Линеаризованные уравнения для круговой орбиты
Для малого в сравнении с радиусом орбиты расстояния между станцией и КА (\(\rho << a_0\)) приведенные выше можно линеаризовать и приводятся к простому виду: \[\left\{ \begin{aligned} & \ddot x - 2 n_0 \dot y - 3 n^2_0 x = 0 \\ & \ddot y + 2 n_0 \dot x = 0 \\ & \ddot z + n_0^2 z = 0 \end{aligned} \right.\]
Эти уравнения могут быть проинтегрированный аналитически: \[\begin{aligned} & x = x_0 (4 - 3\cos n_0t) + \frac{1}{n_0} \left[ \dot x_0 \sin n_0 t + 2 \dot y_0 (1-\cos n_0t) \right],\\ & y = y_0 + \left[ 6x_0+\frac{4\dot y_0}{n_0}\right] \sin n_0 t + \frac{2 \dot x_0}{n}(\cos n_0 t-1) -\left[ 6n_0 x_0+3 \dot y_0\right]t,\\ & z = \frac{z_0}{n_0} \sin n_0 t + z_0 \cos n_0 t. \end{aligned}\]
Источники и ссылки
- Alfriend K.T. et al. Spacecraft formation flying: Dynamics, control and navigation // Spacecraft Formation Flying: Dynamics, control and navigation. 2009.
- Относительное орбитальное движение 1.
- Относительное орбитальное движение 2
