Движение наноспутника внутри пускового контейнера

Наноспутник типоразмера 3U массой m (от 2 до 6 кг) выталкивается из транспортно-пускового контейнера при помощи пружинного толкателя с известным начальным усилием P_0, конечными усилием P_k и ходом h.

  1. Напишите MATLAB-функцию, которая определяет для заданной массы наноспутника, начального, конечного усилия пружины и её хода:
    • скорость отделения наноспутника от носителя;
    • продолжительной движения наноспутника внутри контейнера от момента начала движения до окончания работы пружины.
  2. Постройте график перемещения наноспутника от времени.
  3. Постройте график изменения скорости наноспутника от времени.

Шаблон функции:

function [dv dt] = get_v_t(...)	
	...
end 

Наноспутник выталкивается из контейнера при помощи пружины, усилие которой зависит от положения наноспутника внутри контейнера. Ход пружины обычно равен длине наноспутника. Наноспутник типоразмера 3U имеет длину 340.5 мм.

Сила пружины $P$ толкателя изменяется по линейному закону:

P = P_0 - c x, \quad 0 \leq x \leq h,

где P – начальное усилие пружины, c – жёсткость пружины: c = \frac{P_0 - P_k}{h}

P_k – конечное усилие пружины. Работа пружины определяется выражением:

A = \frac{P_0 + P_k}{2} h

Если масса носителя, от которого отделяется наноспутник, значительно больше массы наноспутника, то можно принять допущение о том, что вся потенциальная энергия толкателя расходуется на приращение скорости наноспутника. В этом случае изменение кинетической энергии наноспутника равно работе пружинного толкателя:

T_k - T_0 = A

где T_0=0 начальная кинетическая энергия наноспутника, A – работа пружинны, T_k – конечная кинетическая энергия наноспутника:

T_k = \frac{m V^2}{2}

Скорость наноспутника определяется выражением:

V = \sqrt{\frac{2 A}{m}}.

Уравнение движения наноспутника под действием силы P имеет вид:

m \ddot x = P_0 - c x.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение уравнения для нулевых начальных условий x(0)=0, \dot{x}(0) = 0 имеет вид:

x = \frac{P_0}{c}\left[1-\cos \left(\sqrt{\frac{c}{m}}t\right)\right].

Время движения наноспутника до выхода из пускового контейнера x(t) = h определяется формулой:

t = \sqrt{\frac{m}{c}} \arccos \frac{P_k}{P_0}.

© 2018. All rights reserved.