Относительное орбитальное движение
От носителя (орбитальной ступени) одновременно отделяются три малых космических аппарата с одинаковыми скоростями \(V_1 = V_2 = V_3 = 1\) м/с.
Векторы приращений скоростей малых КА относительно орбитальной ступени лежат в плоскости орбиты, как показано на рисунке.
Носитель движется по круговой орбите высотой 400 км.
Используя уравнения относительного орбитального движения, определите наилучший угол отделения КА - \(\alpha\), при котором минимальное расстояние между любыми КА и между любым КА и носителем (при сближении) в течение двух орбитальных периодов носителя было бы максимальным.
Постройте траектории движения КА относительно носителя (на одном рисунке).Постройте графики изменения расстояний между КА и носителем и между каждой парой КА (на одном рисунке).
Сравните результаты с решением, полученным при интегрировании уравнений абсолютного движения КА в центральном гравитационном поле Земли: постройте на одном рисунке траекторию движения одного КА относительно носителя (в орбитальной подвижной системе координат), и траекторию этого же КА, построенную на основе результатов интегрирования движения КА и носителя в центральном поле.
Пример построения траекторий относительного орбитального движения (линейная модель)
% Гравитационная постоянная
mu = 398600.4415e9;
% Высота орбиты носителя
h0 = 300e3;
% Угловая скорость орбитального движения носителя по круговой орбите
w0 = sqrt(mu/(6371000+h0)^3);
% Орбитальный период носителя
Torb = 2*pi/w0;
% Уравнения относительного орбитального движения КА, отделившегося от
% носителя со скоростью v0 (координатный столбец),
% заданной орбитальной подвижной системе координат носителя
r = @(t,w0,v0) [v0(1)/w0*sin(w0*t)-2*v0(2)/w0*cos(w0*t)+2*v0(2)/w0;
2*v0(1)/w0*(cos(w0*t)-1)+4*v0(2)/w0*sin(w0*t)-3*v0(2)*t;
v0(3)/w0*sin(w0*t)];
% Решение определяется на 2х орбитальных периодах
tlist = 0:1:2*Torb;
% Угол отделения КА
phi = 9*pi/180;
% Скорости отделения 3х КА
v10 = [cos(phi);sin(phi);0]*0.5;
v20 = [cos(phi+120*pi/180);sin(phi+120*pi/180);0]*0.5;
v30 = [cos(phi+240*pi/180);sin(phi+240*pi/180);0]*0.5;
% Траектории [Nx3]
s1 = r(tlist,w0,v10)';
s2 = r(tlist,w0,v20)';
s3 = r(tlist,w0,v30)';
% Расстояния от КА до носителя
d1 = sqrt(sum((s1).^2,2));
d2 = sqrt(sum((s2).^2,2));
d3 = sqrt(sum((s3).^2,2));
% Расстояния между парами КА
d12 = sqrt(sum((s1-s2).^2,2));
d13 = sqrt(sum((s1-s3).^2,2));
d23 = sqrt(sum((s2-s3).^2,2));
% Траектории
subplot(2,1,1)
plot(s1(:,2)*1e-3,s1(:,1)*1e-3,'LineWidth',2)
hold on;
plot(s2(:,2)*1e-3,s2(:,1)*1e-3,'LineWidth',2)
plot(s3(:,2)*1e-3,s3(:,1)*1e-3,'LineWidth',2)
hold off
grid; xlabel('y_0, км'); ylabel('x_0, км');
legend('КА1','КА2','КА3');
% Расстояния
subplot(2,1,2);
plot(tlist/3600,d12*1e-3);
hold on;
plot(tlist/3600,d13*1e-3);
plot(tlist/3600,d23*1e-3);
plot(tlist/3600,d1*1e-3,'--');
plot(tlist/3600,d2*1e-3,'--');
plot(tlist/3600,d3*1e-3,'--');
% Отрезки убывания функции
decr_d1 = diff(d1)<0;
plot(tlist(decr_d1)/3600,d1(decr_d1)*1e-3,'r.');
hold off; grid;
xlabel('t, ч'); ylabel('км');
legend('d_{12}','d_{13}','d_{23}','d_1','d_2','d_3','\Delta d_1 / \Delta t < 0');
