Космическая тросовая система

Используя пример программы моделирования движения груза на тросовой связи в однородном поле силы тяжести, разработать модель движения троса, прикрепленного к космическому аппарату, движущемуся по круговой орбите высотой \(h = 400\) км.

Движение троса рассмотреть течение двух орбитальных периодов КА в плоскости орбиты относительно неинерциальной системы координат (орбитальной подвижной), движущейся вместе с космическим аппаратом \(C x_o y_o\). Ось \(C x_o\) орбитальной подвижной системы координат направлена вдоль КА направлена вдоль радиус-вектора КА относительно центра Земли в сторону “от Земли”, ось \(C y_o\) совпадает с вектором орбитальной скорости движения КА по круговой орбите.

На каждый узел троса в неинерциальной орбитальной подвижной системе координат \(C x_o y_o\) кроме сил упругости действуют сила, определяемая координатным столбцом в \(C x_o y_o\): \[\Phi_i = \begin{bmatrix} 3 \omega_0^2 x_i + 2 \omega_0 \dot y_i \\ - 2 \omega_0 \dot x_i \end{bmatrix} m_i\]

где \(\omega_0\) – угловая скорость орбитального движения космического аппарата (среднее движение), определяемая высотой круговой орбиты КА: \[\omega_0 = \sqrt{\frac{\mu}{(R_e+h)^3}},\]

где \(\mu\) – гравитационный параметр Земли, \(R_e\) – средний радиус Земли, \(h\) – высота орбиты КА.

КА рассматривать материальной точкой, движущейся по круговой орбите. Длина троса 5 км, материал троса имеет плотность 1,4 тонн на кубический метр, модуль упругости материала троса - 90 МПа, диаметр троса - 2 мм. Масса капсулы равна 30 кг. В начальный момент времени трос вытянут в прямую линию и его начальная длина равна свободной длине. Начальный угол \(\varphi\) между осью минус \(C x_o\) орбитальной системы координат и тросом равен 45 градусам. Начальная скорость точек троса равна нулю.