Вывод уравнения движения механизма

Рассмотрим движение плоского механизма, представленного на рисунке 1. Механизм состоит из тела 1, представляющего собой два жестко соединенных в точке В стержня. В точке О тело 1 шарнирно закреплено на неподвижной опоре. Вдоль стержня АВ может двигаться шарик M (тело 2), который представлен материальной точкой с известной массой m. К шарику прикреплена пружина, другой конец которой закреплен в точке А тела 1. Механизм движется в вертикальной плоскости: тело 1 вращается вокруг шарнира О по закону:

\varphi = \varphi_0 + \omega t

Рисунок 1 Рисунок 1 - Схема механической системы и силы, действующие на шарик

Вывод уравнения движения шарика вдоль стержня с использованием уравнений относительного движения

Уравнение относительного движения шарика (по отношению к неинерциальной системе координат Axy) в векторной форме имеет вид

m \vec{a}_r = \vec{F}_y + m \vec g + \vec N_y + \vec{\Phi}^e + \vec{\Phi}^k

В правой части уравнения к активным силам (сила действия пружины и сила притяжения), силе реакции опоры (сила действия стержня АВ на шарик) добавлены переносная сила инерции \Phi^e, учитывающая вращение подвижной системы координат вокруг шарнира О и сила инерции Кориолиса \Phi^k.

Активные силы и сила реакции

На шарик действуют сила пружины, которая определяется ее деформацией относительно свободной длины l_0 и жесткостью k:

F_y = k (x-l_0)

сила притяжения G = m g и сила реакции стержня АВ – N_y, которая направлена перпендикулярно стержню.

Силы инерции

Переносная сила инерции \Phi^e при вращении тела 1 с постоянной угловой скоростью \omega определяется выражением

\Phi^e = \omega^2 \, OM \, m

Сила инерции Кориолиса направлена перпендикулярно стержню АВ и определяется выражением

\Phi^k = 2 m \dot x \omega

Направления сил инерции показано на рисунке 2.

Рисунок 2 Рисунок 2 - Силы инерции

Уравнения движения

Проецируя векторное уравнение относительного движения шарика на ось Ax, получим

m \ddot x = m \omega^2 OM \cos \gamma  - mg \sin \varphi - k (x - l_0)

Учитывая, что \cos \gamma = x / OM:

m \ddot x = m \omega^2 x - mg \sin \varphi - k (x - l_0)

Проекция уравнения на ось Ay

0 = - m \omega^2 ОА - mg \cos \varphi  +  N_y - 2 m \dot x \omega

позволит найти силу реакции стержня АВ

N_y = m \omega^2 ОА + mg \cos \varphi + 2 m \dot x \omega

Вывод уравнения движения шарика вдоль стержня с использованием уравнений абсолютного движения

Координатный столбец радиус вектора шарика в неподвижной системе координат

Запишем положение шарика в неподвижной системе координат Ox_0y_0, начало которой находится в шарнире О. Координатный столбец радиус-вектора шарика в неподвижной системе координат выражен через его положение по отношению к подвижной системе координат Axy (координата x) и угловое положение подвижной системы координат по отношению к неподвижной (угол \varphi):

r = \{ OA \, \text{Sin}[\varphi[t]]\ + x[t] \, \text{Cos}[\varphi[t]], -OA \, \text{Cos}[\varphi[t]]\ + x[t] \, \text{Sin}[\varphi[t]] \}

Координатный столбец абсолютного ускорения шарика

Для определения абсолютного ускорения шарика используем функцию дифференцирования

a = \text{D}[r,\{t,2\}]

Силы действующие на шарик

Шарик движется под действием силы веса mg, силы пружины F_y силы реакции стержня АВ N_y. Запишем проекции этих сил на оси неподвижной системы координат

F = \{0,-m\,g\} - k\,(x[t]-l_0)\{\text{Cos}[\varphi[t]],\,\text{Sin}[\varphi[t]]\} + Ny\,\{-\text{Sin}[\varphi[t]],\text{Cos}[\varphi[t]]\}

Уравнение движения

Спроецируем векторное уравнение m \vec a = \vec F на подвижную ось $Ax$, единичный вектор которой в неподвижной системе координат определяется выражением

e_x = \{ \text{Cos}[\varphi[t]],\, \text{Sin}[\varphi[t]]\}

Для вычисления скалярного произведения вектора абсолютного ускорения шарика и единичного вектора e_x используется оператор “точка”:

\text{eqx} = m\,a.e_x = F.e_x //\text{FullSimplify}

Также можно спроецировать уравнение движения на ось Ay

\text{eqy} = m\,a.e_y = F.e_y //\text{FullSimplify}

В уравнениях движения необходимо заменить функцию \varphi(t) и её производные заданными выражениями, исходя из заданного закона изменения угла поворота \varphi = \varphi_0 + \omega t

\text{conditions} = \{ \varphi'[t] -> \omega, \varphi[t] -> \varphi0 + \omega\,t, \varphi''[t] -> 0 \};

Перепишем первое уравнение

\text{eqx} = m\,a.e_x = F.e_x /. \text{conditions} //\text{FullSimplify}