Аналитические преобразования

Положение материальных точек двойного маятника, показанного на рисунке 1, определяются выражениями: \[\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{A}_1 \begin{bmatrix} 0 \\ -l_1/2 \end{bmatrix},\] \[\boldsymbol{r}_2 = \boldsymbol{A}_1 ( \begin{bmatrix} 0 \\ -l_1 \end{bmatrix} + \boldsymbol{A}_2 \begin{bmatrix} 0 \\ -l_2/2 \end{bmatrix})\]

Рисунок 1 – Механические системы

где: \[\boldsymbol{A}_i = \begin{bmatrix} \cos \varphi_i & -\sin \varphi_i \\ \sin \varphi_i & \cos \varphi_i \end{bmatrix}, \quad i=1,2.\]

1. Найдите и упростите выражение для кинетической энергии маятника.

2. Приведите выражение для кинетической энергии к виду:

1. Постройте список обобщенных коэффициентов массы \(a_{11}, a_{12}, a_{22}\).

2. Постройте выражение для потенциальной энергии системы, которое равно нулю при \(\varphi_1 = 0\), \(\varphi_2 = 0\).

3. Упростите выражение для потенциальной энергии.

4. Разложите выражение для потенциальной энергии в ряд в окрестности \(\varphi_1 = 0\), \(\varphi_2 = 0\) до членов второго порядка и приведите её к виду:

1. Постройте список обобщенных коэффициентов жёсткости \(a_{11}, a_{12}, a_{22}\).