Плоский программный разворот
Рассматривается задача определения параметров плоского программного разворота космического аппарата или ступени РН, выполняемого при помощи реактивных двигателей ориентации, создающих постоянный момент относительно центра масс.
Рассмотрим задачу плоского программного разворота космического аппарата или ступени РН на заданный угол. Предположим, что в начальный момент времени \(t=0\) Угловое положение ступени относительно некоторого фиксированного в пространстве направления определялось углом \(\varphi_0\), при этом угловая скорость ступени была равна нулю \(\omega_0 = 0\).
На борту ступени есть двигатели ориентации, которые могут создавать относительно её центра масс постоянный момент \(M_u\).
Необходимо в течение заданного интервала времени \(T\) развернуть ступень из начального углового положения \(\varphi_0\) в конечное положение, определяемое нулевым углом и нулевой угловой скоростью: \(\varphi_e = \omega_e = 0\).
Разворот ступени будет выполнятся в три этапа:
- этап разгона с постоянным угловым ускорением, создаваемым двигателем ориентации;
- этап движения с постоянной угловой скоростью (двигатели ориентации выключены);
- этап торможения с постоянным угловым ускорением.
Продолжительности этапов разгона и торможения одинаковы и равны \(t_a\).
Этап разгона
На этапе разгона угловая скорость ступени будет увеличиваться по модулю под действием управляющего момента \(M_u\). Закон изменения угловой скорости будет иметь вид: \[\dot \varphi = \omega = - \frac{M_u}{J} t = - \varepsilon t\]
где \(J\) - момент инерции ступени относительно оси, проходящей через её центр масс и перпендикулярной плоскости разворота, \(\varepsilon\) - постоянное угловое ускорение разворота.
Угол поворота ступени на первом этапе будет изменяться (в условиях рассматриваемой задачи уменьшаться) по известному закону равноускоренного движения: \[\varphi = \varphi_0 - \frac{\varepsilon t^2}{2}\]
В конце первого этапа угол поворота и угловая скорость будут определяться выражениями: \[\varphi_1 = \varphi_0 - \frac{\varepsilon t_a^2}{2}, \quad \omega_1 = - \varepsilon t_a\]
При заданной продолжительности разворота $T$ и заданной максимальной угловой скорости разворота \(\omega^{max}\) могут быть определена продолжительность этап разгона (торможения): \[t_a = \frac{\omega^{max} J}{M_u} = \frac{\omega^{max}}{\varepsilon}\]
и продолжительность второго этапа движения с постоянной угловой скоростью: \[t_w = T - 2 t_a.\]
Движение с постоянной угловой скоростью
На втором этапе движение ступени равномерное. В конце второго этапа угол поворота ступени будет определяться выражением: \[\varphi_2 = \varphi_1 + \omega_1 t_w = \varphi_0 - \frac{\varepsilon t_a^2}{2} - \varepsilon t_a t_w\]
Этап торможения
На этапе торможения ступень движется равнозамедленно и течение интервала \(t_a\) её угловая скорость уменьшается до нуля. В момент достижения нулевой угловой скорости угол поворота ступени также должен быть равен нулю: \[0 = \varphi_2 - \omega^{max} t_a + \frac{\varepsilon t_a^2}{2} = \varphi_0 - \frac{\varepsilon t_a^2}{2} - \varepsilon t_a t_w - \omega^{max} t_a + \frac{\varepsilon t_a^2}{2} = \varphi_0 - \varepsilon t_a t_w - \omega^{max} t_a\]
При заданном времени разворота \(T\) и заданном угловом ускорении разворота времена \(t_a\) и \(t_w\) будут определяться решением следующей системы \[\begin{cases} t_a(t_w+t_a) = \frac{\varphi_0}{\varepsilon} \\ t_w + 2 t_a = T \end{cases}\]
Решение этой системы для продолжительности этапа разгона (торможения): \[t_a = \frac{T}{2} \pm \sqrt{T^2 - 4 \frac{\varphi_0}{\varepsilon}}\]
Разворот за время \(T\) на угол \(\varphi_0\) возможен если \[T^2 > 4 \frac{\varphi_0}{\varepsilon}\]
В предельном случае, когда \(T^2 = 4 \varphi_0/\varepsilon\) участок движения с постоянной угловой скоростью отсутствует и \(t_a = T/2\), т.е. разворот выполняется в два этапа – этапа разгона и торможения.
В общем случае при выполнения условия \(T^2 > 4 \varphi_0/\varepsilon\) продолжительности разгона (торможения) и равномерного движения определяются по следующим формулам: \[t_a = \frac{T}{2} - \sqrt{T^2 - 4 \frac{\varphi_0}{\varepsilon}}, \quad t_w = 2 \sqrt{T^2 - 4 \frac{\varphi_0}{\varepsilon}}.\]
