Определение матрицы тензора инерции

Задание

Система твердых тел состоит из трех или четырех тел. Каждое тело представляет собой однородный цилиндр или усеченный конус заданных размеров.

1. Найти положение центра масс относительно системы координат, расположенной на пересечении продольной оси первого тела с плоскостью нижнего среза первого тела (точка А).

2. Определить главный центральный тензор инерции представленной системы тел. Определить ориентацию осей главной центральной системы координат по отношению к базовой системе координат \(Axyz\), представленной на рисунке: найти матрицу преобразования координат из главного центрального базиса в базис \(Axyz\).

Варианты

Размерности величин в таблице в системе СИ.

Номер варианта определяется по формуле: (1 + NNNNN mod 11), где NNNNN - последние пять цифр зачетной книжки.

Пример

Система твердых тел состоит из параллелепипеда со сторонами \(a_1 = 1\), \(b_1 = 2\), \(h_1 = 2\) и двух цилиндров с радиусами оснований \(r_2 = 0.3\), \(r_3 = 0.4\) и высотами \(h_2 = 2\) и \(h_3 = 3\) соответственно. Масса параллелепипеда \(m_1 = 10\), массы цилиндров: \(m_2 = 5\), \(m_3 = 7\).

Центры оснований цилиндров (точки \(B_2\) и \(B_3\)) лежат на оси, параллельной оси \(B_1 z_{b}\) базовой системы координат, как показано на рисунке. Координаты центров оснований цилиндров: \(z_2 = -0.7\), \(z_3 = 1.5\).

Положение центра масс

Определим положение центра масс системы тел относительной базовой системы координат \(B_1 x_{b} y_{b} z_{b}\) \[r_c^{(1)} = \frac{1}{m_1+m_2+m_3} \left\{ m_1 \begin{bmatrix} h_1/2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + m_2 \begin{bmatrix} h_1 + h_2/2 \\ 0 \\ z_2 \end{bmatrix} + m_3 \begin{bmatrix} h_1+ h_3/2 \\ 0 \\ z_3 \end{bmatrix} \right\}\]

% *** Тело 1 ***
% Масса
m1 = 10;
% Размеры
a1  = 1; b1  = 2; h1  = 3;
% Положение центра масс 
rc1 = [h1/2;0;0];

% *** Тело 2 ***
% Масса
m2 = 5;
% Размеры
r2 = 0.3; h2 = 2;
% Положение центра масс 
z2  = -0.7; 
rc2 = [h1+h2/2;0;z2];

% *** Тело 2 ***
% Масса
m3 = 7;
% Размеры
r3 = 0.4; h3 = 3;
% Положение центра масс 
z3  = 1.5;
rc3 = [h1+h3/2;0;z3];

% Положение центра масс системы
rc = (rc1*m1+rc2*m2+rc3*m3)/(m1+m2+m3)

Матрицы тензоров инерции в главных центральных осях тел

Тело 1

Моменты инерции параллелепипеда относительно его главных центральных осей \(C_1 x_1 y_1 z_1\), параллельных соответствующим осям базовой системы координат \(B_1 x_{b} y_{b} z_{b}\): \[J_{1x} = m_1 (a1^2+b1^2)/12, \; J_{1y} = m_1 (b1^2+h1^2)/12, \; J_{1z} = m_1 (a1^2+h1^2)/12.\]

J1cx = m1*(a1^2+b1^2)/12;
J1cy = m1*(b1^2+h1^2)/12;
J1cz = m1*(a1^2+h1^2)/12;

J1c = diag([J1cx,J1cy,J1cz]);

Тело 2

Моменты инерции первого цилиндра относительно его главных центральных осей \(C_2 x_2 y_2 z_2\), параллельных соответствующим осям базовой системы координат: \[J_{2x} = m_2 r_2^2/2, \; J_{2x} = m_2(3 r_2^2 + h_2^2)/12, \; J_{2z} = J_{2y}.\]

J2cx = 0.5*m2*r2^2;
J2cy = m2*(3*r2^2+h2^2)/12;
J2cz = J2cy;

J2c = diag([J2cx,J2cy,J2cz]);

Тело 3

Моменты инерции второго цилиндра относительно его главных центральных осей \(C_3 x_3 y_3 z_3\), параллельных соответствующим осям базовой системы координат: \[J_{3x} = m_3 r_3^2/2, \; J_{3x} = m_3(3 r_3^2 + h_3^2)/12, \; J_{3z} = J_{3y}.\]

J3cx = 0.5*m3*r3^2;
J3cy = m3*(3*r3^2+h3^2)/12;
J3cz = J3cy;

J3c = diag([J3cx,J3cy,J3cz]);

Тензор инерции системы относительно центра масс системы

Найдём матрицу тензора инерции системы относительно центральной системы координат \(C x_s y_s z_s\), оси которой параллельны осям базовой системы координат. Определим функцию вычисления тензора инерции тела при переносе базиса из центра масс в некоторую точку P.

Jp = @(Jc, r2c) Jc + (r2c'*r2c*eye(3)-r2c*r2c');

Первый аргумент функции – матрица тензора инерции в центральном базисе тела, второй - координатный столбец вектора, проведенного из точки P в центр масс тела, записанный в центральном базисе тела. В рассматриваемой задаче точкой P будет центр масс системы тел, определенный на первом шаге решения задачи, поэтому

• тензор инерции параллелепипеда:

J1cs = Jp(J1c, rc1-rc)


J1cs =

    4.2679         0   -0.4845
         0   13.2533         0
   -0.4845         0   10.6520

• тензор инерции цилиндра 1:

J2cs = Jp(J2c, rc2-rc);

J2cs =

    1.2617         0    0.9950
         0    3.7709         0
    0.9950         0    2.7342

• тензор инерции цилиндра 2:

J3cs = Jp(J3c, rc3-rc);

J3cs =

    1.9567         0   -1.7459
         0    9.1090         0
   -1.7459         0    7.7123

Тензор инерции системы

Js   = J1cs + J2cs + J3cs

Js =

    7.4863         0   -1.2353
         0   26.1332         0
   -1.2353         0   21.0986

Матрица тензора инерции не диагональная, поскольку тензор инерции системы записан в центральных, но не главных осях системы. Для определения тензора инерции системы в главных центральных осях решим задачу на собственные значения матрицы Js:

[e,Jii] = eig(Js)

e =

   -0.9960   -0.0897   -0.0000
    0.0000    0.0000   -1.0000
   -0.0897    0.9960    0.0000


Jii =

    7.3751         0         0
         0   21.2098         0
         0         0   26.1332

• В матрицу e записываются собственные векторы матрицы тензора инерции системы, из которых можно составить (после некоторых преобразований) матрицу преобразования координат из главного центрального базиса системы \(C x y z\) в систему координат \(C x_s y_s z_s\).

• В матрицу Jii записывается диагональная матрица собственных чисел матрицы тензора инерции Js. Эти числа представляют собой главные моменты инерции системы.

Обратим внимание на то, что единичные векторы главных осей инерции (столбцы матрицы e) определяются с точностью до знака, поскольку они определяют только положение главных осей в пространстве как прямых. Умножим первый и третий столбец матрицы e на минус 1 и затем переставим столбы 2 и 3 матриц e и Jii. В результате получим:

• главные центральные моменты инерции системы

• матрица преобразования координат из главного центрального базиса системы \(C x y z\) в исходный базис \(C x_s y_s z_s\)