Движение твердого тела под действием следящей силы

• Описание механической системы
• Задание
  • Часть 1
  • Часть 2
  • Часть 3

Построить модель движения орбитальной ступени ракеты-носителя после отделения полезного груза в течение 30 секунд. Принять допущение о том, что орбитальная ступень движется только под действием силы тяги сопла торможения относительно орбитальной подвижной системы координат, которая считается инерциальной (ИСК).

Описание механической системы

• Схема орбитальной ступени показана на рисунке 1.

Рисунок 1 – Схема ступени (все линейные размеры в миллиметрах)

• Инерционно-массовые характеристики ступени

• Тяга реактивного сопла увода

Рисунок 2 – Закон изменения тяги реактивного сопла

В качестве параметров, определяющих угловое положение ступени – связанной со ступенью системы координат (ССК) – относительно ИСК, использовать:

• направляющие косинусы;
• углы Эйлера (пассивная точка зрения);
• кватернионы.

Последовательность поворотов углов Эйлера выбирается из следующей таблицы:

Номер варианта определяется по формуле 1 + (NNNNN mod 3), где NNNNN - последние пять цифр номера зачетной книжки. В начальный момент времени координаты центра масс равны нулю, скорость ступени равна нулю (по отношению к орбитальной подвижной системы координат). Начальные углы поворота определяются выражением: \[\varphi_1 = 1 + (\text{NNNNN} \mod 5), \; \varphi_1 = 5 + (\text{NNNNN} \mod 10), \; \varphi_1 = 10 + (\text{NNNNN} \mod 5).\]

Проекция начальной угловой скорости ступени на ее продольную ось равна 1 градус в секунду, проекции угловой скорости на поперечные оси равны нулю.

Задание

Часть 1

1. Записать уравнения движения центра масс, вокруг центра масс и кинематические уравнения движения, используя в качестве параметров углы (313, 231 или 131), направляющие косинусы и кватернионы.
2. Разработать программу моделирования движения ступени на интервале работы сопла увода для трех вариантов уравнений движения (в среде MATLAB или Octave).
3. Построить графики изменения проекций угловой скорости ступени на связанные оси: \(\omega_x, \omega_y, \omega_z\) (для одного варианта программы).
4. Построить графики изменения координат и проекций скорости центра масс ступени на оси орбитальной подвижной системы координат: \(x,y,z\), \(V_x, V_y, V_z\) для каждого варианта программы (результаты должны совпадать).
5. Построить графики изменения углов: \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\).

Часть 2

1. Определить проекции единичного вектора направление вектора кинетического момента ступени после окончания работы реактивного сопла (через 30 секунд после начала движения) в системе координат \(O x_0 y_0 z_0\).
2. Определить угол нутации и угловую скорость прецессии орбитальной ступени после окончания работы реактивного сопла (через 30 секунд после начала движения).

Часть 3

1. Записать аналитические выражения для проекций угловой скорости ступени на собственные оси на интервале от 30 до 50 секунды (движение “по инерции”), определить законы изменения проекций угловой скорости, построить графики.
2. Сравнить численное решение на том же интервале с аналитическим (построить графики).