Вывод уравнения движения механизма
Рассмотрим движение плоского механизма, представленного на рисунке 1. Механизм состоит из тела 1, представляющего собой два жестко соединенных в точке В стержня. В точке О тело 1 шарнирно закреплено на неподвижной опоре. Вдоль стержня АВ может двигаться шарик M (тело 2), который представлен материальной точкой с известной массой \(m\). К шарику прикреплена пружина, другой конец которой закреплен в точке А тела 1. Механизм движется в вертикальной плоскости: тело 1 вращается вокруг шарнира О по закону: \[\varphi = \varphi_0 + \omega t\]
Рисунок 1 - Схема механической системы и силы, действующие на шарик
Вывод уравнения движения шарика вдоль стержня с использованием уравнений относительного движения
Уравнение относительного движения шарика (по отношению к неинерциальной системе координат \(Axy\)) в векторной форме имеет вид \[m \vec{a}_r = \vec{F}_y + m \vec g + \vec N_y + \vec{\Phi}^e + \vec{\Phi}^k\]
В правой части уравнения к активным силам (сила действия пружины и сила притяжения), силе реакции опоры (сила действия стержня АВ на шарик) добавлены переносная сила инерции \(\Phi^e\), учитывающая вращение подвижной системы координат вокруг шарнира О и сила инерции Кориолиса \(\Phi^k\).
Активные силы и сила реакции
На шарик действуют сила пружины, которая определяется ее деформацией относительно свободной длины \(l_0\) и жесткостью \(k\): \[F_y = k (x-l_0)\]
сила притяжения \(G = m g\) и сила реакции стержня АВ – \(N_y\), которая направлена перпендикулярно стержню.
Силы инерции
Переносная сила инерции \(\Phi^e\) при вращении тела 1 с постоянной угловой скоростью \(\omega\) определяется выражением \[\Phi^e = \omega^2 \, OM \, m\]
Сила инерции Кориолиса направлена перпендикулярно стержню АВ и определяется выражением \[\Phi^k = 2 m \dot x \omega\]
Направления сил инерции показано на рисунке 2.
Рисунок 2 - Силы инерции
Уравнения движения
Проецируя векторное уравнение относительного движения шарика на ось \(Ax\), получим \[m \ddot x = m \omega^2 OM \cos \gamma - mg \sin \varphi - k (x - l_0)\]
Учитывая, что \(\cos \gamma = x / OM\): \[m \ddot x = m \omega^2 x - mg \sin \varphi - k (x - l_0)\]
Проекция уравнения на ось \(Ay\) \[0 = - m \omega^2 ОА - mg \cos \varphi + N_y - 2 m \dot x \omega\]
позволит найти силу реакции стержня АВ \[N_y = m \omega^2 ОА + mg \cos \varphi + 2 m \dot x \omega\]
Вывод уравнения движения шарика вдоль стержня с использованием уравнений абсолютного движения
Координатный столбец радиус вектора шарика в неподвижной системе координат
Запишем положение шарика в неподвижной системе координат \(Ox_0y_0\), начало которой находится в шарнире О. Координатный столбец радиус-вектора шарика в неподвижной системе координат выражен через его положение по отношению к подвижной системе координат \(Axy\) (координата \(x\)) и угловое положение подвижной системы координат по отношению к неподвижной (угол \(\varphi\)): \[r = \{ OA \, \text{Sin}[\varphi[t]]\ + x[t] \, \text{Cos}[\varphi[t]], -OA \, \text{Cos}[\varphi[t]]\ + x[t] \, \text{Sin}[\varphi[t]] \}\]
Координатный столбец абсолютного ускорения шарика
Для определения абсолютного ускорения шарика используем функцию дифференцирования \[a = \text{D}[r,\{t,2\}]\]
Силы действующие на шарик
Шарик движется под действием силы веса \(mg\), силы пружины \(F_y\) силы реакции стержня АВ \(N_y\). Запишем проекции этих сил на оси неподвижной системы координат \[F = \{0,-m\,g\} - k\,(x[t]-l_0)\{\text{Cos}[\varphi[t]],\,\text{Sin}[\varphi[t]]\} + Ny\,\{-\text{Sin}[\varphi[t]],\text{Cos}[\varphi[t]]\}\]
Уравнение движения
Спроецируем векторное уравнение \(m \vec a = \vec F\) на подвижную ось $Ax$, единичный вектор которой в неподвижной системе координат определяется выражением \[e_x = \{ \text{Cos}[\varphi[t]],\, \text{Sin}[\varphi[t]]\}\]
Для вычисления скалярного произведения вектора абсолютного ускорения шарика и единичного вектора \(e_x\) используется оператор “точка”: \[\text{eqx} = m\,a.e_x = F.e_x //\text{FullSimplify}\]
Также можно спроецировать уравнение движения на ось \(Ay\) \[\text{eqy} = m\,a.e_y = F.e_y //\text{FullSimplify}\]
В уравнениях движения необходимо заменить функцию \(\varphi(t)\) и её производные заданными выражениями, исходя из заданного закона изменения угла поворота \(\varphi = \varphi_0 + \omega t\) \[\text{conditions} = \{ \varphi'[t] -> \omega, \varphi[t] -> \varphi0 + \omega\,t, \varphi''[t] -> 0 \};\]
Перепишем первое уравнение \[\text{eqx} = m\,a.e_x = F.e_x /. \text{conditions} //\text{FullSimplify}\]
