Аналитические преобразования

Положение материальных точек двойного маятника, показанного на рисунке 1, определяются выражениями:

\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{A}_1 \begin{bmatrix} 0 \\ -l_1/2 \end{bmatrix},
\boldsymbol{r}_2 = \boldsymbol{A}_1 ( \begin{bmatrix} 0 \\ -l_1 \end{bmatrix} + \boldsymbol{A}_2 \begin{bmatrix} 0 \\ -l_2/2 \end{bmatrix})

Рисунок 1 Рисунок 1 – Механические системы

где:

\boldsymbol{A}_i =  \begin{bmatrix} \cos \varphi_i & -\sin \varphi_i \\ \sin \varphi_i & \cos \varphi_i   \end{bmatrix}, \quad i=1,2.
  1. Найдите и упростите выражение для кинетической энергии маятника.

  2. Приведите выражение для кинетической энергии к виду:

T = a_{11} \dot{\varphi}_1^2 + 2 a_{12} \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 + a_{22} \dot{\varphi}_2
  1. Постройте список обобщенных коэффициентов массы a_{11}, a_{12}, a_{22}.

  2. Постройте выражение для потенциальной энергии системы, которое равно нулю при \varphi_1 = 0, \varphi_2 = 0.

  3. Упростите выражение для потенциальной энергии.

  4. Разложите выражение для потенциальной энергии в ряд в окрестности \varphi_1 = 0, \varphi_2 = 0 до членов второго порядка и приведите её к виду:

\Pi = c_{11} \varphi_1^2 + 2 c_{12} \varphi_1 \varphi_2 + c_{22} \varphi_2
  1. Постройте список обобщенных коэффициентов жёсткости a_{11}, a_{12}, a_{22}.