Модель отделения головного обтекателя ракеты-носителя в SimInTech

08 Sep 2023 in Механика / CAE

SimInTech complex model of the separation process of the fairing leaves of the launch vehicle.

Математическая модель
- Уравнения движения
Модель SimInTech
Результаты моделирования
Список источников

Головной обтекатель (ГО) – это элемент конструкции ракеты-носителя (РН), предназначенный для защиты полезного груза от внешних тепловых и аэродинамических нагрузок при транспортировке полностью собранной ракеты-носителя или космической головной части к стартовому столу и во время полёта ракеты-носителя в плотных слоях атмосферы. После прохождения плотных слоев производится сброс ГО, поскольку он становится бесполезной массой.

ГО, как правило, собирается из двух половинок - створок, на которые и он разделяется перед отделением. Для отделения створок используется два способа, отличающиеся характером движения створок: отделение с разворотом створок и отделение без разворота створок. В первом случае каждая створка шарнирно связывается с переходным отсеком РН и после разделения ГО на створки выполняется разворот створок при помощи пружинных или пневматических толкателей. После разворота на некоторый заданный угол створки отделяются от РН. Пример схемы узла вращения, освобождающем створку после разворота на заданный угол приведен в патенте [1]).

Рисунок 1 - Отделение створок ГО с разворотом

Во втором случае створки отделяются в поперечном направлении также под действием толкателей, но уже без разворота и движутся почти поступательно относительно РН после разделения. Такая схема используется для отделения створок ГО РН “Falcon-9” [2].

Рисунок 2 - Отделение створок ГО без разворота

Здесь рассматривается первый способ отделения ГО с разворотом створок при помощи пневматических толкателей. Модель построена с использованием материалов патента [1] и учебного пособия [5].

На рисунке 3 показана схема рассматриваемого ГО, разделяемого на две створки. Створки соединяются друг с другом по продольным стыкам при помощи замков. Это могут быть, например, рычажные замки, соединенные тягами, как показано в патенте [1] или линейный удлиненный заряд. К переходному отсеку каждая створка также крепится замками поперечного стыка. После прохождения плотных слоев атмосферы система управления подает команду на раскрытие замков и створки под действием толкателей начинают разворачиваться вокруг узлов вращения. Каждая створка разворачивается при помощи двух пневмотолкателей. Один конец каждого толкателя шарнирно прикрепляется к створке, а штоки упираются в переходный отсек РН, отталкиваясь от него в процессе разворота створки.

Рисунок 3 - Головной обтекатель

На рисунке 4 показана схема пневмосистемы разворота створки, которая состоит из баллона с рабочим телом, например, сжатым воздухом, пневмоклапана (ПК) и двух пневмотолкателей. Перед отделением створки срабатывает пневмоклапан для подготовки пневмосистемы к работе – заполнения рабочих полостей толкателей, чтобы сразу после срабатывания замков крепления створки начали разворот.

Рисунок 4 - Схема пневмосистемы

Предположим, что в нашей модели в момент \(t = 0 + \Delta t_1\) срабатывает пневмоклапан ПК, показанный на рисунке 3. С этого момента начинается наполнение рабочих полостей толкателей, при этом створка остается неподвижной – замки крепления, соединяющие её с другой створкой и с переходным отсеком, не позволяют створке вращаться.

В момент времени \(t = 0 + \Delta t_2\) производится срабатывание замков крепления и створка под действием пневмотолкателей начинает разворот. Интервал времени \(t_2 - t_1\) необходим для заполнения пневмосистемы. Фактическое время готовности пневмосистемы для работы после срабатывания пневмоклапана будет определяться объёмом той части пневмосистемы, что находится после пневмоклапана и проходным сечением пневмоклапана.

Математическая модель

Для начала запишем математическую модель движения створок. Важно понять, как будет двигаться створка относительно РН, чтобы убедиться, что это движение будет безударным и створка не столкнется с РН. С этой точки зрения удобней рассматривать движение створок относительно неинерциальной системы координат, связанной с РН, которая движется с некоторым известным ускорением.

Уравнения движения

Принятые допущения

Модель движения створки ГО будет строится с учетом следующих допущений:

Створка – абсолютно-твердое тело постоянного состава.
Движение створок не оказывает влияния на движение РН.
РН движется поступательно с постоянной продольной перегрузкой.
Масса толкателя мала по сравнению с массой створки.
Процесс в пневмосистеме толкателя разворота створки адиабатный (без обмена энергией с внешней средой).
Моменты сопротивления в точках (шарнирах) крепления толкателя к створке пренебрежимо малы.
Трение в узлах вращения створки, соединяющих её с РН, также отсутствует.
Отделение створок происходит в разреженных слоях атмосферы, поэтому действие аэродинамических сил на движение створки считается малым и не учитывается.
Рассматривается плоское движение створки.

С учетом принятых допущений о плоском движении и абсолютной твердости створки можно упростить модель пневмосистемы, заменив действие двух пневмотолкателей одним с удвоенной площадью штока. Эти допущения позволяют рассматривать движение двух створок независимо друг от друга, т.е. достаточно рассмотреть движение одной створки.

На рисунке 5 показана схема рассматриваемой механической системы. В неинерциальной системе координат движение створки происходит под действием силы толкателей \(\mathbf P\) и переносной силы инерции \(\mathbf G\), определяемой движением РН с некоторой перегрузкой.

Кинематические соотношения

Сила, создаваемая толкателем, будет зависеть от перемещения его штока. Перемещение штока определяет объём рабочей полости толкателя. С увеличением этого объёма давление в рабочей полости будет падать, приводя к уменьшению силы. Длину толкателя определим из теоремы косинусов, записанной для треугольника osp (рисунок 5): \[l_{sp}^2 = l^2 = y_p^2 + \rho_p^2 - 2 y_p \rho_p \cos (\varphi + \psi_p)\]

где \(\rho_p = op\) – расстояние от оси вращения створки до оси вращения шарнира точки крепления толкателя на створке; \(\rho_c = oc\) – расстояние от оси вращения створки до её центра масс. Полученное выражение позволяет найти связь между изменением длины толкателя и изменением угла поворота створки, а также между угловой скоростью створки и скоростью выдвижения штока толкателя. Продифференцировав последнее выражение, получим \[\dot{l} = y_p \rho_p \frac{\sin(\varphi + \psi_p)}{l} \dot{\varphi}\]

Рисунок 5 - Схема системы

Запишем уравнение в вариациях: \[\delta l = y_p \rho_p \frac{\sin(\varphi + \gamma_p)}{l} \delta \varphi\]

Силы и моменты

Уравнение в вариациях можно использовать для определения момента, создаваемого силой толкателя относительно оси вращения не проводя дополнительных геометрических построений. В соответствии с принципом виртуальных перемещений \[\delta A_p = P \delta l = M_p \delta \varphi,\]

следовательно момент, создаваемый толкателем относительно оси вращения створки будет определяться следующим образом: \[M_p = \frac{\delta l}{\delta \varphi} P = y_p \rho_p \frac{\sin(\varphi + \gamma_p)}{l} P\]

Момент переносной силы инерции относительно оси вращения определяется как: \[M_\Phi = (x_c \sin \varphi - y_c \cos \varphi) m g n_x\]

где \(n_x\) – продольная перегрузка РН, \(m\) - масса створки, \(g\) – ускорение свободного падения.

Уравнение движения

Движение створки при отделении можно разделить на два этапа: этап разворота створки и этап свободного движения относительно РН после потери механической связи створки с переходным отсеком.

Первый этап движения

Движение створки относительно РН на этапе вращения описывается одним дифференциальным уравнением: \[J_o \ddot{\varphi} = M_p + M_\Phi\]

где \(J_o\) – момент инерции створки относительно оси вращения. При известном поперечном моменте инерции створки относительно оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно оси, проходящей через ось вращения створки может быть определен по теореме Штейнера \[J_o = J_c + m (x_c+y_c)^2 = J_c + m \rho_c^2\]

Подставляя выражения для моментов сил, получим: \[J_o \ddot{\varphi} = y_p \rho_p \frac{\sin(\varphi + \gamma_p)}{l} P + (x_c \sin \varphi - y_c \cos \varphi) m g n_x\]

Второй этап движения

После того, как створка достигнет угла отделения (угол потери связи) её относительное движение, т.е. движение по отношению к РН, будет равноускоренным вдоль продольной оси РН (x), равномерным вдоль поперечной оси (y) и также равномерным будет вращение створки вокруг центра масс: \[x = x_k + V_{xk} t + \frac{n_x g t^2}{2}, \quad y = y_k + V_{yk} t, \quad \varphi = \varphi_{k} + \omega_k t\]

где \(x_k\), \(y_k\) – координаты центра масс створки на момент потери механической связи в шарнире, \(V_{xk}\), \(V_{yk}\) – скорости центра масс на момент потери механической связи, \(\varphi_{k}\), \(\omega_k\) – угол и угловая скорость створки на момент потери механической связи.

Изменение давления в полости толкателя

Для записи дифференциального уравнения изменения давления в рабочей полости толкателя можно воспользоваться готовыми “рецептами”, например, из справочника Герц Е.В., Крейнин Г.В. “Расчет пневмоприводов” (1975).

Мы же воспользуемся возможностями системы SimInTech и построим модель пневмосистемы, используя блоки из разделов “Пневмомашины и пневмоавтоматика” и “Механика” для построения модели пневмосистемы.

Модель SimInTech

Модель в SimInTech построим с использованием пакета проектов: построим отдельную модель пневмосистемы и модель движения створки, которые объединим в рамках одного пакета проектов. Обмениваться данными модели будут при помощи общей базы данных сигналов. Структура комплексной модели или пакета показана на рисунке 6.

Рисунок 6 - Схема проекта “Пневмосистема”

Модель пневмосистемы, “зная” положение штока пневмотолкателя и его скорость будет определять силу, которую создает толкатель. Модель створки, получив значение силы, будет определять кинематические параметры створки и вычислять перемещение и скорость штока, которые определяются положением и угловой скоростью створки.

На рисунке 7 показан пакет проектов “Отделение_ГО.pak”, который включает в свой состав проекты “Пневмосистема.prt” и “Створка_ГО.prt”.

Рисунок 7 - Схема проекта “Пневмосистема”

База данных сигналов

На рисунке 8 показана база сигналов.

Рисунок 8 - Схема проекта “Пневмосистема”

Сигналы разделены на три категории:

Пневмосистема
Тела
Команды

Описываемая структура сигналов не является единственно возможной. Структура была создана в процесса изучения SimInTech и вряд ли лишена недостатков.

В первой категории собраны сигналы, связанные с работой пневмосистемы. В этой категории три группы сигналов

FAIRING_VALVE
FAIRING_PN
FAIRING_PUSHER

В группе FAIRING_VALVE только один сигнал, управляющий состоянием пневмоклапана 1-открыт, 0-закрыт.

В группе FAIRING_PN собраны сигналы, характеризующие состояние пневмосистемы:

FAIRING_PN_PRESSURE_PUSHER - давление в рабочей полости пневмотолкателя,
FAIRING_PN_PRESSURE_TANK - давление в баллоне пневмосистемы.

В группе FAIRING_PUSHER собраны сигналы, характеризующие работу толкателя:

FAIRING_PUSHER_P - сила, создаваемая толкателем,
FAIRING_PUSHER_STROKE - максимальное перемещение штока толкателя или его “ход” (константа).
FAIRING_PUSHER_S - фактическое перемещение штока толкателя.
FAIRING_PUSHER_V - скорость штока толкателя.

В категории Тела одна группа сигналов FAIRING c сигналами

FAIRING_PHI - угол поворота створки;
FAIRING_W - угловая скорость створки.

В категории Команды также только одна группа FAIRING_COM c сигналом FAIRING_COM_SEP определяющим начало движения створки – раскрытие замков.

Сигналы связываются с параметрами состояния элементов модели при помощи редактора связей.

Рисунок 9 - Редактор связей

Проект “Пневмосистема”

Схема проекта “Пневмосистема” приведена на рисунке 10. Проект состоит из субмодели, которая будет описана далее, на вход которой подаются значения сигналов из общей базы данных проекта: перемещение штока и скорость штока. Также в этом проекте формируется сигнал открытия пневмоклапана, который также подается на вход субмодели. Выходы субмодели (усилие толкателя и состояние пневмоклапана) записываются в базу сигналов проекта.

Рисунок 10 - Схема проекта “Пневмосистема”

Субмодель “Пневмосистема” состоит из двух полостей постоянного объема, которые имитируют объемы пневмосистемы до и после пневмоклапана, самого пнемоклапана (Пневмоклапан 1), разделяющего две части пневмосистемы, пневмотолкателя и дросселя моделирующего вход в пневмотолкатель (штуцер).

При открытии пневмоклапана ПК1, показанного на рисунке 11, газ из баллона заполняет часть пневмосистемы от ПК1 до рабочей полости пневмотолкателей. Клапан ПК1 открывается при подаче управляющего сигнала с уровнем “1” на вход субмодели “Пневмоклапан (1-открыт, 0-закрыт)”.

Рисунок 11 - Схема пневмосистемы

Сила создаваемая толкателем будет определяться давлением в рабочей полости толкателя и положением штока, от которого это давление будет зависеть. Для моделирования толкателя используется блок “ПневмотолкательГПС - Пневмоцилиндр одностороннего действия (базовый)”. Этот блок имеет имеет один двунаправленный порт, по которому передается “скорость” и “сила”. Входом для пневмотолкателя является скорость штока.

В субмодели пневмосистемы реализована логика прекращения работы толкателя. Когда шток толкателя достигнет своего максимального выдвинутого положения действие на створку силы толкателя прекращается. В блоке SimInTech в модели пневмотолкателя реализовано ограничение перемещение штока при помощи контактной силы, зависящей от перемещения и скорости штока (модель “упора”): в параметрах толкателя можно задать коэффициент жесткости упора штока и их коэффициент демпфирования.

Рисунок 12 - Параметры пневмотолкателя

Когда шток достигает своего крайнего положения и останавливается под действием контактной силы упора на выходной порт толкателя передается и сила, создаваемая давлением в рабочей полости, и контактная сила от взаимодействия с упором. Для того, чтобы эта сила противодействия упора не действовала на створку при помощи блока “Двунаправленная шина (выход)” двунаправленный сигнал разделяется на два математических сигнала “F” (сила - выход) и “V” (скорость - вход). Выходной сигнал “Сила” в рассматриваемом случае будет вектором, содержащим значение силы пневмотолкателя, создаваемой давлением и силой воздействия упора на шток толкателя. Из массива этих двух величин при помощи блоков Демультиплексор и Мультиплексор извлекается сила, создаваемая давлением в рабочей полости. Далее в соответствии со схемой значение силы умножается на значение признака достижения штоком выдвинутого положения. Результат подается на выходной порт “Усилие толкателя”.

Приведенный здесь способ “извлечения” нужного элемента из двунаправленной шины при помощи пары Демультиплексор/Мультиплексора не выглядит изящным, однако на момент подготовки этой статьи другого менее громоздкого решения автор не нашел.

Когда шток полностью выдвинется, на выходе “Сила толкателя” будет нулевой сигнал (толкатель не совершает работу). Сигнал со входа “Скорость штока” также будет обнуляться (в модели движения створки). В результате после полного выдвижения штока на створку ГО прекратит действие сила толкателя, а сам шток толкателя будет оставаться неподвижным.

Проект “Створка ГО”

Модель движения створки в проекте “Створка ГО” (рисунок 13) считывает из базы сигналов силу, создаваемую толкателем и перемещение его штока. Перемещение штока пневмотолкателя используется для того, чтобы контролировать момент окончания его работы.

Уравнения движения створки интегрируются в блоке типа “Субмодель”. На вход блока подаются значение силы толкателя, перемещение штока толкателя и признак открытия замков крепления створки (1 - замки открыты, 0 - замки закрыты, створка неподвижна). На выходе субмодели формируются скорость штока, угловая скорость створки, угол поворота створки, которые записываются в базу данных сигналов.

В модели также формируется сигнал на открытие замков, удерживающих створку (изменяется состояние сигнала FAIRING_COM_SEP с 0 на 1), после чего начинается ее разворот. Сигнал формируется при помощи блока “Ступенька”.

Рисунок 13 - Схема проекта “Створка_ГО”

Субмодель “Движение створки ГО” состоит из двух основных блоков “Дифференциальное уравнение движения створки” и “Кинематическое уравнения” (рисунок 14).

Рисунок 14 - Модель разворота створки

Блок “Дифференциальное уравнения движения створки” (блока типа “Язык программирования”) содержит следующий код:

// Вход:  Угол поворота створки и сила толкателей
input  phi, pusher_force;
// Выход: Угловое ускорение створки
output d2phi;

// Длина толкателя
pusher_length = sqrt(yp^2+rp^2-2*yp*rp*cos(phi+gamma_p));
// Момент, создаваемый толкателями относительно оси вращения створки
Mp = yp*rp*sin(phi+gamma_p)*pusher_force/pusher_length;
// Момент от переносной силы инерции
Mg = (xc*sin(phi)-yc*cos(phi))*m*9.807*nx; 
// Угловое ускорение створки
d2phi = (Mp+Mg)/Jo;		

В блоке определяется угловое ускорение створки по углу поворота створки и силы, действующей на створку.

В блоке “Кинематическое уравнение” определяется скорость выдвижения штока. С выхода этого блока сигнал скорости штока перемножается с признаком достижения штоком предельного (выдвинутого) положения. Если шток достиг предельного положения, то на выходной порт “Скорость штока” подается ноль, означающий неподвижность штока (рисунок 14).

input  phi, dphi;
output dl;

// Длина
pusher_length = sqrt(yp^2+rp^2-2*yp*rp*cos(phi+gamma_p));
// Скорость выдвижения штока
dl = yp*rp*sin(phi+gamma_p)*dphi/pusher_length;

Интегрирование уравнений движения производится при помощи метода Гира (Gear51).

Рисунок 15 - Настройки проектов

Результаты моделирования

Результаты моделирования были экспортированы в текстовый файл при помощи блоков “Выход алгоритма” и “В файл”. Графики построены при помощи библиотеки matplotlib в среде Python.

Рисунок 16 - Экспорт результатов моделирования в текстовый файл

На рисунке 17 показан график изменения давления в рабочей полости толкателя и в баллоне пневмосистемы. После срабатывания пневмоклапана давление в полостях баллона и пневмотолкателя выравниваются (пневмосистема заполняется). После начала движения створки давление в рабочей полости толкателя падет вследствие увеличения её объема при развороте створки и выдвижения штока.

Рисунок 17 - Модель разворота створки

На рисунках 18 и 19 приведены графики изменения угла поворота створки и ее угловой скорости. На графике изменения угловой скорости створки виден этап движения створки под действием момента, создаваемого пневмотолкателем, и этап движения “по инерции”, когда створка по отношению к РН движется только под действием переносной силы инерции. На втором этапе угловая скорость створки уменьшается до тех пор пока её центр масс не достигнет максимальной высоты над поперечным стыком створки с переходным отсеком. После этого переносная сила инерции будет создавать момент, “помогающий” створке разворачиваться и угловая скорость будет увеличиваться.

Рисунок 18 - Угол поворота створки

Рисунок 19 - Угловая скорость створки

На рисунке 20 показан график перемещения штока пневмотолкателя. График иллюстрирует ограничение перемещения штока толкателя.

Рисунок 20 - Перемещение штока толкателя

На рисунке 21 приведен график изменения силы толкателя, действующей на створку. После открытия пневмоклапана по мере заполнения полости толкателя рабочим телом сила увеличивается и достигает максимального значения. После начала движения створки сила уменьшается вследствие увеличения объема рабочей полости толкателя и становится равной нулю после того, как шток толкателя выдвинется на максимальное расстояние.

Рисунок 21 - Сила толкателя, действующая на створку

Модель отделения головного обтекателя ракеты-носителя в SimInTech

Математическая модель