Модель движения вращающейся тросовой системы в SimInTech

Модель движения вращающейся тросовой системы в SimInTech

Пример построения в системе SimInTech модели продольных колебаний троса вращающейся тросовой системы для увода объектов космического мусора

Некоторые способы очистки околоземных орбит от крупногабаритных объектов космического мусора (ОКМ), таких как орбитальные ступени ракет или отработавшие спутники, предполагают использование космических тросовых систем. Трос можно использовать как буксировочное средство, соединяющее космический буксир с ОКМ. В этом случае связка буксира и ОКМ уводится на орбиту утилизации к границе атмосферы Земли, используя тянущую схему буксировки. Тросовая связь устанавливается при помощи гарпуна, сети, которыми можно “выстрелить” в ОКМ, или при помощи автономного стыковочного модуля, отделяемого от космического буксира.

Рисунок 1 - Тянущая схема буксировки на тросе

Тянущая схема буксировки требует нестандартной компоновки космического буксира. Действительно, поскольку в процессе буксировки ОКМ находится позади буксира, устройство развертывания и крепления троса на буксире, т.е. его полезная нагрузка, должна быть расположена в его кормовой части, там же, где должна располагаться двигательная установка. Это требование к компоновке не позволяет использовать в качестве буксиров орбитальные средства, разработанные на основе существующих разгонных блоков, таких как “Фрегат”, “Бриз”, БВ “Волга”). Кроме этого, при тянущей схеме буксировки есть риск повреждения троса факелом работающего двигателя буксира.

Для существующих разгонных блоков или космических аппаратов, на основе которых может быть разработан космический буксир, естественной является толкающая схема буксировки, которая предполагает формирование между буксиром и ОКМ жесткой механической связи. При этом жесткая механическая связь должна быть сформирована с учетом возможности парирования системой управления буксиром возмущений, вызванных отклонением центра масс связки от линии действия силы тяги буксира.

Рисунок 2 - Толкающая схема буксировки

Вращающаяся тросовая система

Рассматриваемая здесь вращающаяся тросовая система (ВТС) позволяет использовать толкающую схему буксировки при нежесткой механической связи между буксиром и ОКМ: вращение космической тросовой системы буксир-трос-ОКМ приводит к растяжению троса под действием так называемых “центробежных сил”, что то позволяет прикладывать силу тяги буксира вдоль троса в направлении его сжатия, используя толкающую схему буксировки.

Рисунок 3 - Вращающаяся тросовая система

После формирования ВТС её увод на орбиту утилизации производится периодическими включениями двигателя буксира в те интервалы времени, когда проекция вектора силы тяги буксира на направление орбитальной скорости связки отрицательна.

Рисунок 4 - Движение ВТС под действием тяги буксира

В этой статье рассматриваются способы построения моделей продольных колебаний троса вращающейся тросовой системы в российской среде разработке моделей динамических систем SimInTech.

Математическая модель продольных колебаний троса

Рассмотрим движение вращающейся тросовой системы после ее формирования. Необходимое вращение системы может быть обеспечено за счет разности скоростей буксира и ОКМ в момент формирования тросовой связи. Например, перехват ОКМ с формированием ВТС может быть выполнен с внутренней по отношению к орбите ОКМ орбиты буксира.

Рисунок 5 - Формирование ВТС

При построении математической модели буксир и ОКМ рассматриваются как материальные точки постоянного состава. Предполагается, что движение ВТС происходит в безгравитационном пространстве (действие на ВТС гравитационного поля Земли не учитывается). Трос рассматривается как невесомая пружина.

Предположим, что в момент времени t = 0 между двумя ОКМ и буксиром возникает тросовая связь. Пусть в этот момент времени длина троса равна его свободной длине \(l_0\) и скорости ОКМ и буксира параллельны друг другу. Начальная угловая скорость ВТС будет равна отношению разности скоростей буксира и ОКМ на расстояние между ними: \[\omega_0 = \frac{\Delta V}{l_0}\]

После формирования связки начнутся упругие колебания троса относительно некоторой стационарной деформации троса, определяемой его жесткостью, длиной и угловой скоростью ВТС. В отсутствии внешних моментов момент количества движения ВТС остается постоянным, поэтому при изменении длины троса будет изменяться его угловая скорость по следующему закону: \[\omega=\frac{l_0^2}{l^2}\omega_0\]

где \(l_0\) – начальная длина троса, равная его свободной длине, \(\omega\) – фактическая угловая скорость троса, \(l\) – фактическая длина троса, равная сумме его свободной длины и упругой деформации \(\delta\): \[l = l_0 + \delta\]

Рассмотрим движение буксира во вращающейся неинерциальной системе координат \(Cx_cy_c\), связанной с тросом, начало которой расположено в центре масс системы.

Рисунок 6 - Схема системы

Вдоль оси \(Cx_c\) на буксир действуют сила натяжения троса \(T\), зависящая от его деформации и \(\delta = l - l_0\) и жесткости \(c\): \[T = c(l-l_0) = c \delta,\]

и сила тяги буксира \(P\). К активным силам добавляется сила инерции, обусловленная вращением системы координат \(Cx_cy_c\) с угловой скоростью \(\omega\): \[\Phi_\omega = \omega^2 l_1 m_1 = \omega^2 \frac{m_2}{m_1+m_2} l m_1 = \omega^2 l m_{12},\]

и сила инерции, вызванная движением центра масс ВТС под действием силы тяги \(P\): \[\Phi_P = \frac{P}{m_1+m_2} m_1 = P \frac{m_{12}}{m_2}\]

Уравнение движения буксира в проекции на ось \(C x_c\) имеет вид: \[m_1 \ddot{l}_1 = \omega^2 l m_{12} + P \frac{m_{12}}{m_2} - с \delta - P\]

С учетом того, что \[l_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} l = \frac{m_{12}}{m_1} (l_0+\delta),\]

после небольших преобразований получим дифференциальное уравнение для деформации троса: \[\ddot{\delta} - \left(\omega^2 - \frac{c}{m_{12}}\right) \delta = \omega^2 l_0 - \frac{P}{m_1}\]

Это уравнение нелинейное поскольку угловая скорость \(\omega\) зависит от длины троса, однако при малых \(\delta \ll l_0\) это уравнение можно линеаризовать.

Построение модели в SimInTech

Построить модель рассматриваемой системы в SimInTech можно тремя способами:

  1. непосредственно численно проинтегрировать дифференциальное уравнение движения, приведя его к системе дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши, используя встроенный язык программирования SimInTech;
  2. создать блок с функцией правой части дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений), используя язык программирования или математические блоки, и проинтегрировать эту функцию, используя блоки-интеграторы;
  3. построить модель, используя блоки библиотеки “Механика”.

Прямое интегрирование уравнения движения

Рассмотрим движение ВТС при \(P = 0\). Самый простой способ получить решение – это проинтегрировать полученное выше дифференциальное уравнение, используя встроенный язык программирования SimInTech, похожий на Pascal.

Создадим новую модель (Файл → Новый проект → Схема модели общего вида) и поместим блок “Язык программирования” из раздела “Динамические”. Внутри блока запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:

// Начальные условия
init delta=0, vdelta=0;
output delta, vdelta;
// Текущая угловая скорость 
w = w0*L0^2/(L0+delta)^2;
// Дифференциальные уравнения в форме Коши
delta'  = vdelta; 
vdelta' = (w^2-k2)*delta + w^2*L0;

В первой строке кода блока объявляются (init) переменные состояния и их начальные значения, которые также являются выходами блока (output). Далее записывается система дифференциальных уравнений первого порядка для объявленных переменных состояния.

Следует отметить, что переменную w в блоке с системой дифференциальных уравнений необходимо объявлять без ключевого слова var, т.е. нельзя написать:

var w = w0*L0^2/(L0+delta)^2;

В противном случае значение w будет вычислено только один раз в момент запуска процесса интегрирования, т.е. для начального значения переменной состояния delta, что приведет к неверному результату. К сожалению, при разработке кода блока система не предупреждает о таком поведении.

В коде блока используются внешние переменные, например w0, L0. Объявить эти переменные и присвоить им значения можно в скрипте модели.

Рисунок 7 - Схема модели 1

Текст скрипта инициализации:

initialization
  // Масса буксира
  var m1  = 1000;
  // Масса космического мусора		
  var m2  = 3000;
  // Начальная длина троса		
  var L0  = 2000;
  // Модуль упругости на площадь поперечного сечения троса
  var EA  = 124e9*pi*0.002^2/4;
  // Приведенная масса
  var m12 = m1*m2/(m1+m2);
  // Отношение жёсткости троса к приведенной массе
  var k2  = EA/(m12*L0);
  // Начальная угловая скорость ВТС
  var w0  = 3*pi/180;
end;

К выходным портам блока (деформация и скорость деформации) подключим блок “Временной график” из раздела “Вывод данных”. Запустив процесс моделирования (“Пуск”), получим решение: ниже на рисунке показан график изменения деформации троса.

Рисунок 8 - Изменение деформации троса

Максимальная деформация троса (40,95 м) близка к приближенной аналитической оценке максимальной деформации: \[\delta_{max} = \frac{2 \omega_0^2}{k^2+3\omega_0^2} l_0 = 40.93\text{ м}\]

Интегрирование дифференциального уравнения используя блок-функцию правой части дифференциального уравнения

Получим решение вторым способом, сформировав функцию правой части дифференциального уравнения. Также для упрощения модели будем считать, что движение ВТС происходит при \(P = 0\). Создадим блок “Язык программирования” и напишем в нем код, который вычисляет \(\ddot \delta\) (выход блока), по заданным значениям \(\delta\) и \(\dot{\delta}\), которые будут входами блока:

input delta, vdelta;
output d2delta;

w = w0*L0^2/(L0+delta)^2;
 
d2delta = (w^2-k2)*delta + w^2*L0;

Выход блока \(\ddot \delta\) подключим последовательно к двум блокам-интеграторам. Выходы первого (скорость деформации) и второго (деформация) интеграторов подключим к соответствующим входам созданного блока-функции правой части. Построенная модель будет иметь следующий вид:

Рисунок 9 - Схема модели 2

В отличие от первого рассмотренного способа построения модели, начальные условия движения системы будут задаваться в блоках-интеграторах. В первом блоке-интеграторе - начальная скорость деформации, во втором - начальная деформация.

Рисунок 10 - Начальные условия для скорости деформации троса, задаваемые в интеграторе

Запустив расчет, получим решение, которое не будет отличаться от решения, полученного первым способом.

Построение модели, используя блоки библиотеки “Механика”

В отличие от первых двух способов, при использовании библиотеки “Механика” для построения модели нет необходимости записи уравнений движения системы на языке программирования SimInTech. Однако, математическая модель (уравнение движения) необходима для правильного построения структуры модели.

Разрабатываемая модель состоит из трех подсистем или субмоделей: подсистемы моделирования троса, подсистемы для расчета угловой скорости ВТС, основываясь на законе сохранения момента количества движения, и подсистемы управления силой тяги буксира для активного демпфирования продольных колебаний.

Рисунок 11 - Схема модели 3

Модель тросовой систем состоит из поступательной пружины, имитирующей упругий невесомый трос, двух точечных масс (буксир, ОКМ). Каждая сила в модели представляется одним блоком типа “Идеальный источник силы поступательного движения”. Также в модель добавлен блок моделирования демпфирующих свойств троса (блок “Демпфер”), но коэффициент демпфирования принят равным 0 для возможности сравнения результатов моделирования с результатами, полученными с результатами предыдущих двух моделей.

Рисунок 12 - Схема субмодели “Модель тросовой системы”

В отличие от математических блоков, которые обычно имеют один вход и один выход, “механические” блоки соединяются двунаправленной связью, обозначаемой на схеме зеленой линией, в которой передаётся сила и скорость (или момент и угловая скорость, если блоки модулируют вращательное движение). Что из этих двух величин является входом, а что является выходом зависит от типа блока. Например, для блока “Инерция поступательного движения” входом (воздействием) является закон изменения силы, а выходом (реакцией) является скорость - результат однократного интегрирования уравнения поступательного движения материальной точки под действием силы с заданным в этом блоке начальным условием. Блок “Идеальный источник силы поступательного движения” (раздел “Механические источники силы” библиотеки блоков), которая используется в схеме для моделирования силы инерции, передает по двунаправленной связи только значение силы, полученное на математическом порту (черный цвет связи).

Самый сложный блок в разрабатываемой схеме “Упругий невесомый трос”, который имеет тип “Пружина поступательного движения”. Этот блок имеет два входа, на которые поступает скорость левого и правого конца пружины. В блоке вычисляется разность скоростей, эта разность скоростей интегрируется с учетом заданного в блоке начального условия – начальной деформации пружины. В результате интегрирования получается удлинение пружины, которое умножается на её жесткость \(с\) и полученный результат – сила с учетом знака возвращается на первый и второй входы: \[F_R = - с \int_{0}^t (V_R - V_C) dt, \quad F_C = + с \int_{0}^t (V_R - V_C) dt,\]

В рассматриваемой модели \(V_R\) это скорость буксира в проекции на ось \(Cx_c\) относительно центра масс системы, \(V_C\) – это скорость ОКМ в проекции на ту же ось.

Ниже показано внутреннее устройство блока “Пружина поступательного движения”, реализующего эти формулы:

Рисунок 13 - Схема блока “Пружина поступательного движения”

В приведённой подсистеме также используется измеритель деформации и скорости деформации пружины. Как и пружина этот блок имеет два входа, на которые поступает скорость левого и правой точки пружины. В блоке вычисляется разность скоростей между двумя точками, эта разность скоростей интегрируется с учетом заданного в блоке начального условия – начального расстояния между точками. В результате интегрирования получается текущее деформация пружины, которая передается в выходной математический порт. Разность скоростей также передается в выходной математический порт.

К выходам блока “Упругий невесомый трос” подключаются блоки “Инерция поступательного движения”, моделирующие массы буксира и ОКМ. Кроме силы упругости к буксиру приложены сила тяги и две силы инерции, вызванные вращение тросовой системы и движением ее центра масс с ускорением под действием силы тяги. В отличие от математических блоков, для сложения сил не используются блоки сумматоры: дополнительные силы просто подключаются к линии, ведущей к блоку типа “Инерция поступательного движения”.

Для вычисления силы инерции действующей на буксир и вызванной вращением тросовой системы, угловая скорость ВТС возводится в квадрат, умножается на фактическую длину троса с учетом его упругой деформации. Результат умножается на приведенную массу системы: \[\Phi_\omega = \omega^2 (l_0+\delta) m_{12},\]

Ниже на рисунке показан фрагмент подсистемы, который реализует эту формулу. Сила инерции \(\Phi_\omega\), “действующая” на буксир в неинерциальной системе отсчета, связанной с тросом, направлена в положительном направлении оси \(Cx_c\), поэтому на математический порт блока “Сила инерции” (тип блока “Идеальный источник силы поступательного движения”) подаётся значение силы со знаком плюс. На математический порт силы инерции объекта космического мусора сила инерции подается со знаком минус, для чего используется блок “Усилитель” с коэффициентом усиления равным минус 1.

Рисунок 14 - Фрагмент субмодели “Модель тросовой системы” для вычисления силы инерции, обусловленной вращением тросовой системы

Сила тяги \(P\) действует непосредственно на буксир, а также на всю систему, вызывая движение её центра масс с ускорением: \[a_{c} = \frac{P}{m_1 + m_2}.\]

Ниже на рисунке показан фрагмент модели, где сигнал с входного порта P (сила тяги буксира) умножается на минус 1 и добавляется к системе сил, действующей на буксир. Знак минус учитывает направление действия силы тяги в отрицательном направлении оси \(Cx_c\).

Рисунок 15 - Фрагмент субмодели “Модель тросовой системы” для вычисления силы инерции, обусловленной движением центра масс системы с ускорением

Для определения силы инерции, вызванной движением начала координат с ускорением под действием силы \(P\), на этой же схеме значение силы делится на массу всей системы, а затем результат умножается на массу буксира и массу ОКМ, формируя выражения для блоков сил инерции буксира и ОКМ соответственно. Эти силы инерции и на буксир и на ОКМ действует в одном направлении.

На рассматриваемую вращающуюся тросовую систему в соответствии с принятыми допущениями не действуют внешние моменты, поэтому кинетический момент системы остается постоянным: \[J_0 \omega_0 = J \omega\]

где \(J = m_{12} l^2\) – момент инерции ВТС. В начальный момент времени \(J_0 = m_{12} l_0^2\).

Если в начальный момент времени угловая скорость ВТС была равна \(\omega_0\), а длина \(l_0\), то при длине троса \(l\) угловая скорость будет равна: \[\omega = \frac{l_0^2}{l^2}\omega_0\]

Эту формулу реализует подсистема “Закон сохранения момента количества движения ВТС”, схема которой приведена ниже.

Рисунок 16 - Схема субмодели “Закон сохранения момента количества движения ВТС”

Для гашения продольных колебаний троса после формирования тросовой системы или после включения и выключения двигателя может быть использовано управление свободной длиной троса или управление тягой буксира. Рассмотрим второй способ демпфирования продольных колебаний. Логика работы активного демпфирования описана в субмодели “Модель изменения силы тяги”.

Как было отмечено в начале статьи, для увода с орбиты ВТС производится периодические включения двигателя буксира в те интервалы времени, когда проекция силы вектора тяги буксира (\(P\)) на направление орбитальной скорости связки (\(V_c\)) отрицательна: \[\cos \psi > cos \psi_a\]

Рисунок 17 - Активный режим ВСТ

Таким образом: у ВТС есть два режима движения: активный, когда должен работать двигатель, и пассивный когда двигатель буксира должен быть выключен.

При выключенном двигателе стационарная деформация троса \(\delta_{s}\) будет определяться выражением: \[\delta_{s} = \frac{\omega_0^2}{k^2+3\omega_0^2} l_0.\]

В активном режиме стационарная деформация троса \(\delta_{p}\) будет меньше: \[\delta_{p} = \frac{\omega_0^2 - \frac{P}{m_1 l_0}}{k^2+3\omega_0^2} l_0.\]

При переходе из одного режима в другой необходимо демпфировать возникающие колебания, минимизируя отклонение фактической деформации троса от стационарной. Предположим, что тяга двигателя буксира не может регулироваться плавно и работающий двигатель может создавать только постоянную тягу \(P_{max}\). Для гашения колебаний троса предлагается следующий релейный алгоритм управления.

Если ВТС находится в пассивном режиме, то сила тяги определяется следующим образом: \[P = \begin{cases} P_{max}, & \delta > \delta_s + \Delta \delta \, \And \dot \delta > \Delta \dot \delta \\ 0, & \text{ во всех других случаях} \end{cases}\]

Рисунок 18 иллюстрирует это условие: если деформация троса отклоняется от стационарного значения, увеличиваясь более чем на \(\Delta \delta\) и продолжает расти \(\dot \delta > \Delta \dot \delta\), то даже в пассивном режиме ВТС запускается двигатель для уменьшения деформации троса.

Рисунок 18 - К алгоритму демпфирования колебаний в пассивном режиме работы ВТС

Если ВТС находится в активном режиме (рисунок 19): \[P = \begin{cases} 0, & \delta < \delta_p - \Delta \delta \, \And \dot \delta < \Delta \dot \delta \\ P_{max}, & \text{ во всех других случаях} \end{cases}\]

где \(\Delta \delta\) - некоторое передельное отклонение деформации троса от стационарной деформации, определяющее зону нечувствительности системы управления, \(\Delta \dot \delta\) – некоторое передельное отклонение скорости деформации троса от нуля.

Рисунок 19 - К алгоритму демпфирования колебаний в активном режиме работы ВТС

Ниже показана схема субмодели “Модель изменения тяги”, реализующей описанный алгоритм. На вход субмодели поступает информация о режиме работы двигателя (1 - активный режим, 0 - пассивный режим), деформация и скорость деформации троса.

Рисунок 20 - Схема субмодели “Модель изменения тяги”

Режим работы моделируется при помощи блока “Меандр”, который формирует на выходе сигнал из равномерных прямоугольных импульсов с заданными временными и амплитудными параметрами. Параметры блока:

Рисунок 21 - Свойства блока Меандр

В течение первых 100 секунд после формирования ВСТ находится в пассивном режиме (на выходе блока 0), затем в течение следующих 100 секунд в активном режиме (на выходе блока 1).

Условия включения двигателя буксира формируются при помощи четырех блоков типа “Релейное неоднозначное (гистерезис)”. Блоки “Реле 1” и “Реле 2” реализуют логику работы двигателя в пассивном режиме. Блоки “Реле 3” и “Реле 4” реализуют логику работы двигателя в активном режиме. Например, “Реле 1” включается (на выходе “1”), если отклонение деформации троса от стационарной деформации при P=0 превышает заданное в скрипте модели предельное значение thr_d:

Рисунок 22 - Свойства блока “Реле 1”

“Реле 2” включается, если отклонение скорости деформации троса от нуля превышает заданное в скрипте модели предельное значение thr_v. Сигналы с “Реле 1” и “Реле 2” перемножаются, реализуя конъюнкцию (логическое “И”). Результат передается на селектор режимов, реализованный при помощи блока “Ключ управляемый перекидной”. В зависимости от режима работы ВТС, в схеме используется сигнал с блоков “Реле 1” и “Реле 2” или с блоков реле “Реле 3” и “Реле 4”. Учитывая, что в активном режиме при выполнении условия \[\delta < \delta_p - \Delta \delta \, \And \dot \delta < \Delta \dot \delta,\]

реализуемого при помощи реле “Реле 3” и “Реле 4”, двигатель буксира выключается, то перед передачей сигнала на селектор производится его “обращение” при помощи блока “Оператор НЕ”.

Сигнал с выхода селектора режимов (“1” или “0”) умножается на максимальную тягу буксира. Для этого используется блок типа “Усилитель”.

Ниже показаны графики режима работы и график изменения тяги двигателя буксира и соответствующий график изменения деформации троса, иллюстрирующий работу представленного алгоритма.

Рисунок 23 - Режим работы и изменение тяги двигателя буксира

Рисунок 24 - Изменение деформации троса


© 2022. All rights reserved.

Powered by Hydejack v9.1.6