Управление мягкой посадкой

По материалам книги Battin R. H. An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. – AIAA, 1999.

Рассмотрим движение посадочного модуля, совершающего мягкую посадку на поверхность Луны. Модуль будем рассматривать как материальную точку, которая движется под действием силы тяжести и силы тяги двигателя. Необходимо построить закон управления, который приводит посадочный модуль из произвольного начального положения в точку, определяемую радиус-вектором \(\mathbf{r}_1\) и скоростью \(\mathbf{v}_1\) за заданное время. Будем считать, что направление и величина силы тяги при этом не ограничены.

Найдем такое управление, которое минимизирует функционал: \[J = \int_{t_0}^{t_1} a^2(t) dt = \int_{t_0}^{t_1} \mathbf{a}^T(t) \mathbf{a}(t) dt,\]

т. е. движение из исходного в конечное положение за заданное время \((t_1-t_0)\) нужно выполнить с минимальным среднеквадратическим ускорением, от которого будут зависеть затраты топлива.

Обозначим вектором \(\mathbf a\) полное ускорение посадочного модуля, тогда дифференциальные уравнения его движения в векторной форме будут иметь вид \[\frac{d \mathbf r}{dt} = \mathbf v, \quad \frac{d \mathbf v}{dt} = \mathbf a,\]

Граничные условия, которым должны удовлетворять решения дифференциальный уравнений: \[\mathbf{r}(t_0) = \mathbf{r}_0, \, \mathbf{v}(t_0) = \mathbf{v}_0, \, \mathbf{r}(t_1) = \mathbf{r}_1, \, \mathbf{v}(t_1) = \mathbf{v}_1\]

Существует множество решений (траекторий), которые удовлетворяют этим уравнениям движения и граничным условиям. Каждой из этих траекторий может быть сопоставлено значение функционала \(J\). Среди этого множества траекторий найдем такую траекторию, которая минимизирует функционал \(J\).

Обозначим решение, минимизирующее функционал \(\mathbf{r}_m(t)\), \(\mathbf{v}_m(t)\). Введем векторы отклонений \(\mathbf{\delta}(t)\), \(\mathbf{\nu}(t)\), \(\mathbf{\zeta}(t)\), которые удовлетворяют уравнениям \[\frac{d \mathbf{\delta}}{dt} = \mathbf \nu, \quad \frac{d \mathbf \nu}{dt} = \mathbf \zeta,\]

и граничным условиям \[\delta(t_0) = \mathbf{\delta}(t_1) = 0, \, \mathbf{\nu}(t_0) = \mathbf{\nu}(t_1) = 0, \, \mathbf{\zeta}(t_0) = \mathbf{\zeta}(t_1) = 0,\]

Сформируем однопараметрическое семейство функций \[\mathbf{r}(t,\alpha) = \mathbf{r}_m(t) + \alpha \mathbf{\delta}(t),\] \[\mathbf{v}(t,\alpha) = \mathbf{v}_m(t) + \alpha \mathbf{\nu}(t),\] \[\mathbf{a}(t,\alpha) = \mathbf{a}_m(t) + \alpha \mathbf{\zeta}(t),\]

и перепишем функционал \[J(\alpha)=\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{a}_m^T \mathbf{a}_m dt + 2 \alpha \int_{t_0}^{t_1} \mathbf{a}_m^T \zeta dt + \int_{t_0}^{t_1} \zeta^T \zeta dt\]

Запишем необходимое условие минимума функционала по параметру \(\alpha\) \[\frac{dJ}{d\alpha} = 0 = 2 \int_{t_0}^{t_1} \mathbf{a}_m^T d \mathbf{\nu}\]

Правая часть этого выражения может быть проитегрирована по частям. С учётом того, что \(\mathbf{\nu}(t_0) = \mathbf{\nu}(t_1) = 0\), получим \[\int_{t_0}^{t_1} \mathbf{a}_m^T d \mathbf{\nu} = - \int_{t_0}^{t_1} \frac{d \mathbf{a}_m^T}{ dt} \mathbf{\nu}(t) dt = - \int_{t_0}^{t_1} \frac{d \mathbf{a}_m^T}{ dt} \frac{d \mathbf{\delta}}{dt} dt\]

Необходимое условие минимума функционала принимает вид \[\frac{dJ}{d\alpha} = \int_{t_0}^{t_1} \frac{d \mathbf{a}_m^T}{ dt} \frac{d \mathbf{\delta}}{dt} dt = 0\]

В соответствии с основной леммой вариационного исчисления, если функция \(g(x)\) на интервале \((a,b)\) удовлетворяет условию \[\int_a^b g(x) h'(x) dx = 0\]

для любой гладкой функции \(h\) на том же интервале, при этом \(h(a)=h(b)=0\) , то функция \(g(x)\) равна константе. В рассматриваемом случае, это будет означать, что ускорение \(\mathbf{a}_m\) представляет собой линейную функцию \[\frac{d \mathbf{a}_m}{ dt} = 0 \Rightarrow \mathbf{a}_m=\mathbf{c}_1 t + \mathbf{c}_2\]

Постоянные \(c_1\), \(c_2\) определяются из граничных условий, с учетом которых получим: \[\mathbf{a}_m = \frac{4}{t_{go}} \left( \mathbf{v}_1 - \mathbf v(t) \right) + \frac{6}{t_{go}^2} \left( \mathbf{r}_1 - (\mathbf{r}(t)+\mathbf{v}_1 t_{go}) \right)\]

где \(t_{go} = t_1-t\).

Найдено полное ускорение, которое есть сумма ускорения, создаваемого двигателем, и ускорения силы тяжести. Ускорение, создаваемое двигателем будет равно \[\mathbf{a}_c = \frac{4}{t_{go}} \left( \mathbf{v}_1 - \mathbf v(t) \right) + \frac{6}{t_{go}^2} \left( \mathbf{r}_1 - (\mathbf{r}(t)+\mathbf{v}_1 t_{go}) \right) - \mathbf{g}(\mathbf{r}(t))\]

Умножив \(\mathbf{a}_c\) на массу посадочного модуля, получим необходимую силу тяги.

В задачах, представляющих практический интерес, вектор \(\mathbf g\) не является неизменным, и в этом случае критерий оптимальности уже не будет обеспечивать минимизацию расхода топлива. Однако полученное решение может рассматриваться как близкое к оптимальному. На основе этого метода разрабатывалась программа посадки на Луну посадочного модуля миссий Аполлон.

Все величины в законе управления могут быть либо измерены на борту посадочного модуля, либо рассчитаны. По мере приближения к конечному моменту времени \(t_{go}\), которая находится в знаменателе, будет стремится к нулю, что может привести к проблемам при вычислениях. Этих проблем можно избежать, например, сохраняя постоянной величину \(t_{go}\), когда она станет меньше некоторой малой величины. Затем, когда \(t_{go}\) достигнет нуля, можно “отдать команду” на отключение двигателя.

2022

2021

2020

2019

2018


© 2022. All rights reserved.

Powered by Hydejack v9.1.6